جامعه آماري :مدرسه

موضوع مورد بررسي : ساعاتي كه هر فرد در طول هفته براي گوش دادن به موسيقي صرف مي كند .

نمونه :كلاس

25،30،25،20،10،30،15،35،14

5،5،10،15،15،20،25،25،20،5،15،25

30،5،10،10،20،5،15،25،25،30،35،20

15،20،30،25،5،10،15،20،15،5،30،25

20،15،5،10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

دسته بندي داده ها كمترين داده – بيشترين داده = دامنه تغييرات

6= = طول دسته 30= 5-35=R

دامنه تغييرات = طول دسته

تعداد دسته

 

 

فراواني مطلق	درصدفرواني نسبي	فراواني نسبي	مركز دسته	فراواني	دسته
9	18%=100×18%	18%=	5/7=	9	(10،5)
15	12%=100×12%	12%=	5/12	6	(15،10
25	20%=100×2%	2%=	5/17	10	(20و15)
33	16%=100×16/0	16%=	5/22	8	(25،20)
42	18%=100×18/0	18%	5/27	9	(30،25)
48	12%=100×12%	12%=	5/32	6	(35،30)
50	4%=100×4/0	4/0 =	5/37	2	(40.35)

شاخص هاي هندسي:

نمودارهايا شاخص هاي هندسي وسيله اي سودمند براي به تصوير در آوردن وتجسم جامعه مي باشد .

نمودارها :

1- نمودار مستطيلي 2- نمودار ميله اي

3- نمودار دايره اي 4- نمودار چند بر فراواني

5- نمودار ساقه اي وبرگ

نمودار مستطيلي :

نمايشي از داده ها ي دسته بندي شده كه در آن سطح مستطيل ها متناسب با فرواني دسته هاست به نمودار مستطيلي نمودار ستوني يا نمودار هيستوگرام نيز مي گويند.

 

فرواني

 

 

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 فرواني مطلق	حدود دسته
9	(10،5)
6	(15،10)
10	(20،15)
8	(25،20)
9	(30،25)
6	(35،30)
2	(40،35)

40 35 30 25 20 15 10 5

 

 

 

 

نمودار ميله اي

اين نمودار بيشتر به اين متغيرهاي گسسته و كيفي مناسب است آنچه در اين نمودار مهم است مقايسه فراواني داده هاست .

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 فرواني مطلق	حدود دسته
9	5/7
6	5/12
10	5/17
8	5/22
9	5/27
2	5/37

5/37 5/32 5/27 5/22 5/17 5/12 5/7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

نمودار چند بر فراواني

در نمودار مستطيلي فراواني ها روي دسته ها تغيير نمي كنندونمودار مستطيل بيشتر شبيه به پلكاني به صورت رو به رو است اگر بخواهيم تغييرات متغير را فاصله باشد بهتر نشان دهيم از نمودار چند بر فراواني استفاده مي كنيم چند بر فراواني براي اين داده ها پيوسته متناسب است به نمودار چندبر فراواني نمودار خط شكسته نيز مي گويند .

 

فرواني مطلق	حدود دسته
9	5/7
6	5/12
10	5/17
8	5/22
9	5/27
6	5/32
2	5/37

5/37 5/32 5/27 5/22 5/17 5/12 5/7

نمودار ساقه و برگ

خوبي اين نمودار در اين است كه تمام داده ها را در بر دارد . عدد 2 كه در واقع همان عدد 20 است و قسمت اصلي داده ها ست ساقه مي گوييم. سايه ارقام را كه متصل به اين ساقه هستند برگ مي گوييم .

 

 

برگ	ساقه
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 00 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 00 55 0 0 0 0 0 0	1 2 3

 

نمودار دايره اي

نموداري كه مي تواند اطلاعات موجود در داده ها رابه سرعت در معرض ديد قرار دارد .

زاويه مركزي بر حسب درجه = 360× فراواني آن دسته

كل فراواني

	فراواني
9   6   10   8     9   6   2     64/8=360=× 432=360× 72=360× 6/57=360× 8/64=360× 432=360× 4/14=360×

 

ميانگين معدل داده ها مي باشد ميانگين در مركز داده ها قرار دارد يعني همان مقداري كه داده ها از ميانگين اضافه دارند ،همان مقدار هم از ميانگين كم دارند .

ميانگين شاخص خوبي براي نشان دادن مركزيت داده هاست در بعضي از مسائل اين شاخص نمي تواند مؤثر باشد .

داده ها = xi

فرواني =Fi

38/17 = 35² +30⁶+25⁹+20⁸ +15¹⁰ +14+10⁵ +5⁹= X

 

3/20== =x

xifi	xi	Fi	دسته
5/67 75 175 180 5/247 195 75	5/7 5/12 5/17 5/22 5/27 5/32 5/37	9 6 10 8 9 6 2	(10-5) (15-10) (20-15) (25-20) (30-25) (35-30) (40-35)

مي بينيم كه اختلاف بسيار زياد است 1015= f i 4 50= fi 4

نمودار جعبه

اين نمودار مشخص كننده وضعيت داده ها است يعني اينكه آيا داده ها بيشتر اطراف ميانگين متمركزند يابيشتر اطراف كمترين داده يا بيشترين داده متمركزند و يا اينكه آيا داده ها با هم نزديك هستند يا خير؟

ميانه اول داده ها را چارك اول3 Q ميانه و ميانه دوم داده ها را چارك دوم 3 Q مي نامند .

چارك اول ميانه چارك اول

 

بيشترين مقدار داده كمترين داده

 

 

 

35 25 5/17 10 5

 

 

1)

شاخص هاي پراكندگي

دامنه ي تغييرات

2) چارك هاي بالاو پايين

3) واريانس

4) انحراف معيار

5) ضريب تغييرات

 

دامنه تغييرات :

بزرگترين داده – كمترين داده 30=5-35=R

چارك هاي بالا و پايين .

دامنه ي تغييرات ممكن است در بعضي مواقع تعبيرهاي نامناسب از جامعه ارائه كند مثلا در جامعه اي كه عملاً داده ها به هم نزديك اند به علت وجود ومقدار خيلي كوچك وخيلي بزرگ در جامعه دامنه ي تغييرات عدد بزرگي به دست آيد وحال آن كه جامعه از ديد آماري جامعه متمركزي باشد در اين حالت ها از اين روش استفاده مي كنيم .

واريانس ( پراش )

برابر ميانگين مجذور از ميانگين است و آن را با ² 6 نشان مي دهيم بنا براين : اگر داده ها برابر باشند واريانس آن ها صفراست و بالعكس

=²6

=6²

5/28= ² 6

انحراف معيار :

بانماد6 نشان داده مي شود برابر جذر واريانس است .

واحد آن همان واحد متغير است

تفاوت عمده درواحد واريانس و واحد ميانگين راباجذر گرفتن از واريانس از بين مي بريم

=6

 

باتوجه به واريانس كه در قسمت بالا به دست آورديم انحراف معيار برابر است با

6= 5/28

ضريب تغييرات :

نمادآن cv است يعني خارج قسمت انحراف معيار بر ميانگين

براي از بين بردن واحد اندازه گيري از معيار ضريب تغييرات استفاده مي كنيم .

ضريب تغييرات يعين ميزان پراكندگي به ازاي يك واحد از ميانگين

انحراف معيار

cv= ^{= = cv=}

ميانگين

پراكندگي :

يعني اين كه داده ها از مركز خود چقدر دور هستند براي اين كار تك تك داده ها رااز ميانگين كم مي كنيم اين تفاضل را انحراف از ميانگين مي ناميم

x₁-x , x_{2-x,000xn –x}^-

00000و3/6=3/20-14