فهرست مطالب

 

عنوان صفحه

فصل 0: پیشگفتار 1

1-0 خطاها 1

2-0 توابع وچند جمله ای ها 3

3-0 معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم در فضای باناخ 8

فصل 1: مقدمه 13

فصل 2: نماد ماتریس 15

1-2 قسمت های دیفرانسیل وشرایط ممکن 15

2-2 قسمت انتگرال 16

3-2 تبدیلIDE به ماتریس 18

فصل 3: برآورد خطا 20

فصل 4: کاربرد مبنای چپیشف 22

فصل 5: مثال های عددی و نتایج 26

پیوست تاریخی 31

واژه نامه فارسی به انگلیسی 36

منابع 41

 

چکیده

هدف از این مقاله بررسی روش تائو با پایه های چند جمله ای دلخواه برای یافتن معادلات انتگرال –دیفرانسیل ولترا(VIDES)است.قسمت های دیفرانسیل و انتگرال این معادلات توسط نمادهای علمی تائو جایگزین می شوند.به این منظور که VIDES را به دستگاه معادلات خطی تبدیل کند.برای برتری روش تائو نتایج عددی چند مثال با پایه های چند جمله ای چپیشف ارائه می شود.

 

 

واژگان کلیدی: انتگرال-دیفرانسیل،چند جمله ای، ضرایب، ثابت ها، ماتریس، بردار، مبنای چبيشف

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فصل 0

پيشگفتار

 

1-0 انواع خطا

در مسائل عددی معمولا تقریب هائی از یک مجهول را در اختیار داریم لذا بین این تقریب ها و مقادیر واقعی خطاهائی وجود دارد لذا چند خطا را مورد بررسی قرار می دهیم.

 

1-1-0 تعریف

اگر تقریبی باشدوقراردهیم آن گاه راخطای مطلق می نامیم.

 

 

 

2-1-0 تعریف

هر عدد ناکمترازرا یک خطای مطلق حدی نامیم و با نمایش می دهیم بنابر این همواره و بر خلاف ، منحصر بفرد نمی باشد.

 

3-1-0 قرارداد

هر وقت می نویسیم:

 

4-1-0 تعریف

اگر تقریبی از عدد مخالف صفر باشد خطای نسبی را بانشان می دهیم و آن عبارت است از خطا در واحد کمیت . یعنی:

 

5-1-0 قضیه

اگر تقریبی از و یک خطای مطلق حدی باشد داریم:

 

برهان: بنا به فرض داریم:

 

 

و بنا بر خواص قدر مطلق داریم:

 

 

در نتیجه داريم:

 

لذا:

 

6-1-0 قرارداد

اگر در مقایسه با کوچک باشد می توان از آن صرف نظر کرد و نوشت:

 

 

7-1-0 نتیجه

اگر در مقایسه با کوچک باشد آن گاه:

 

2-0 توابع و جند جمله ای ها

در این قسمت با چند نوع تابع و چند جمله ای آشنا می شویم.

 

1-2-0 تعریف

دو تابع را نسبت به تابع وزن بر بازه متعامد گوئیم هرگاه:

 

 

2-2-0 تذکر

در حالتی که به ازای هر دو تابع را متعامد ساده گوئیم.

 

3-2-0 تعریف

دنباله توابع را یک مجموعه متعامد می نامیم اگر این توابع دوبدو متعامد باشند ، یعنی اگر هنگامی که . که در آن یک مجموعه ساده از چند جمله ای ها می باشد.

 

4-2-0 تعریف

مجموعه های چندجمله ای هایی که روی بازه نسبت به تابع وزن متعامد باشند، به چند جمله ای های ژاکوبی معروف هستند.

 

5-2-0 تذکر

چند جمله ای های لژاندر دسته خاصی از چند جمله ای های زاکوبی به ازای هستند.

 

6-2-0 تذکر

دودسته خاص از چندجمله ایهای ژاکوبی،چندجمله ایهایی از نوع اول و دوم می باشند که بررسی می کنیم

چندجمله ای های چپیشف از نوع اول دارای تابع وزن و متناظر با می باشند.

چندجمله ای های چپیشف از نوع دوم دارای تابع وزن و متناظر با می باشند.

 

7-2-0 قضیه

فرض می کنیم یک عدد صحیح نامنفی باشد در این صورت چندجمله ای های از درجه وجود دارند، به قسمی که:

 

(1)

 

اثبات: بنا بر قضیه موآور،به ازای هرعددصحیح نامنفی ،خواهیم داشت:

 

(2)

 

با به کار بردن قضیه دو جمله ای می توانیم بنوبسیم:

 

(3)

 

قسمتهای حقیقی و موهومی دو طرف معادله (3) را مساوی قرار می دهیم. جمله های حقیقی در مجموع طرف راست این معادله، متناظر با مقادیر زوج هستند.

وقتی آن گاه:

 

با مساوی قرار دادن قسمت های حقیقی در معادله(3)،خواهیم داشت:

 

 

طرف راست این معادله یک چند جمله ای درجه از است.این چند جمله ای را با نمایش میدهیم.در این صورت:

 

 

که در آن:

از(1) نتیجه می شود که:

 

جمله های موهومی از مجموع طرف راست معادله(3)،متناظر با مقادیرفردهستند.

 

وقتی که خواهیم داشت:

 

 

با برابر قرار دادن قسمت های موهومی د معادله (3) بدست می آوریم:

 

 

 

مجموع طرف راست، یک چند جمله ای از درجه بر حسب است.

این چند جمله ای را با نمایش میدهیم در اینصورت:

که در آن:

 

از فرمول(2) نتیجه می شود که:

 

 

8-2-0 قضیه

مجموعه چند جمله ایهای نسبت به تابع وزن بر بازه متعامدند و

 

 

(که در آن نرم تابع می باشند و به صورت زیر تعریف می شود).

 

اثبات: نخست ضرب داخلی یعنی

را در نظر می گیریم.

 

با بکار بردن تغییرمتغیروقتی خواهیم داشت.

بنا بر(1)به دست می آوریم

 

 

9-2-0 قضیه

چند جمله ایهای در معادله دیفرانسیل

صدق می کنند.

 

اثبات: میدانیم که یک جواب معادله دیفرانسیل

 

است.این معادله با تغییر متغیر بصورت زیردر می آید:

 

قرار می دهیم در نتیجه داریم:

 

 

بنابراین چون پس ها در معادله دیفرانسیل صدق

می کنند.

 

3-0 معادلات انتگرال دیفرانسیل فردهلم در فضای باناخ

در این قسمت چند تعریف و قضیه را در مورد معادلات خنثی انتگرال-دیفرانسیل در فضای باناخ[1] بررسی

می کنیم.

 

 

1-3-0 تعریف

معادلات خنثی انتگرال-دیفرانسیل فردهلم را در نظر بگیرید:

 

 

که پیوسته می باشدو یک فضای باناخ است و.

 

2-3-0 قضیه

فرض کنید که یک فضای متریک عمومی کامل باشد که برای هر ،

و فرض کنید که برای هر ، ،تابع

وجود دارد بطوریکه:

 

 

و اگر همه مقادیر ویژه در یک گوی باز از قرار بگیرد آنگاه هنگامی که و عملگریک نقطه ثابت دارد.

به علاوه دنباله متوالی از تقریبهای به در همگراست و به ازای هر آنگاه:

 

 

که در آن یک ماتریس واحد در می باشد.

 

برهان: به[7]مراجعه شود.

 

3-3-0 قضیه

در شرایط(2-2)(1-2)(i)(به[7]مراجعه شود) .

اگر

 

آنگاه عملگر A یک نقطه ثابت دارد. بطوری که:

و یک جواب یکتای معادله (1)می باشند.

 

به علاوه دنباله متوالی تقریب ها با توجه به روابط زیر بدست می آید:

 

 

[1] :Banach