فهرست

منحنیها درحالت کلی- فرم پارامتری یک منحنی................................................. (1)

طول قوس به عنوان پارامتر- انحنا................................................................. (8)

نابع برداری.............................................................................................(13)

نمودارتوابع پارامتری................................................................................ (17)

حدوپیوستگی توابع برداری......................................................................... (20)

مشتق تابع برداری.................................................................................... (26)

منحی وار............................................................................... ...........(29)

فرمول های مشتق گیری.................................................................................... (30)

قوانین مشتق گیری ضرب توابع برداری...................................................................... (31)

توابع برداری با طول ثابت......................................................................... (34)

بردارسرعت وشتاب توابع برداری............................................................... (36)

بردارهای یکه ی ممان وقائم....................................................................... (38)

انتگرال توابع برداری............................................................................... (43)

طول قوس یک منحنی.............................................................................. (47)

تابع طول قوس....................................................................................... (50)

پارامترسازی برحسب طول قوس.......................................................................... (51)

منحنی های تکه تکه هموار......................................................................................(53)

دستگاه )TNBکنج فرنه)......................................................................... (53)

صفحه بوسان وعمود..............................................................................(55)

انحناو تاب...........................................................................................(59)

انحنا منحنی در صفحه.............................................................................................(65)

شعاع انحناودایره ی انحنا(دایره ی بوسان)....................................................(66)

مراحل بدست آوردن دایره ی بوسان.......................................................................(67)

مولفه های ممان وقائم سرعت وشتاب...........................................................(68)

تاب منحنی............................................................................................(73)

تمرین..................................................................................................(74)

منابع وماخذ...........................................................................................(84)

 

 

1-منحنی‌ها در حالت کلّی – فرم پارامتری یک منحنی:

در ابتدا می‌خواهیم فرم پارامتری یک منحنی را مشخص کنیم. لذا لازم است که درشروع، پارامتر را معرفی می‌کنیم:

فرض می‌کنیم c نمودار تابع پیوسته‌ی و p یک نقطه‌ی متغیر روی این منحنی باشد.t را به عنوان یک پارامتر انتخاب می‌کنیم، هرگاه تغییر مکان، نقطه‌ی pروی منحنیcبه‌وسیله‌ی t به طور منحصر به فردی تعیین گردد.

مثلاً در شکل فوق، می‌توان موقعیت pرا با مقادیر تعیین کرد یا حتی با ، موضعpمشخص می‌شود؛زیرا با معلوم بودن و یا مقدار t را به طور منحصر به فردی مشخص می‌شود و در نتیجه موضع p به عنوان تابعی از t مستلزم تعیین به صورت توابعی از t است. لذا جفت معادله‌ی و معادلات پارامتری منحنی c خوانده می‌شوند. زیرا با تغییر منحنیc حاصل می‌شود. در این جا فرض می‌کنیم که دارای یک قلمرو بوده و بر این قلمرو پیوسته می‌باشد.

مثال(1) منحنی به معادله‌ی قطبی و را می‌توان با توجه به اینکه و به فرم پارامتری زیر نشان داد:

و که زاویه‌‌ی به عنوان پارامتر مشخص شده است.

مثال(2)در نظر بگیرید معادله‌ی دایره‌ی دارای نمایش پارامتری به صورت و است که زاویه‌ای است که با جهت مثبت محور xها می‌سازد؛ زیرا هر t، p منحصر به فردی را مشخص می‌کند و یا حتی

و همان دایره‌ی را نمایش می‌دهد.

 

همچنین می‌توان برای معادله‌ی فوق، طول قوس را به عنوان پارامتر در نظر بگیریم؛ زیرا هر s یک p منحصر به فرد را معلوم می‌کند. داریم: و بنابراین:

c=

 

که فرم پارامتری دایره‌ی بر حسب پارامتر طول قوس می‌باشد.

مثال(3) منحنی و یک بیضی است، اگر که و باشند.

حل: از خذف t از دو معادله‌ی بالا داریم و

و در نتیجه:

که معادله یک بیضی است.

مثال(4) منحنی و که در آن هر دو مثبت‌اند را در نظر می‌گیریم.

حل: با حذف t از دو معادله داریم: و

بنابراین: که معادله هذلولی است.

مثال(5) فرض کنیم که یک دایره به شعاع در امتداد یک خط افقی بدون لغزش، بغلطد. فرم پارامتری منحنی‌ای را بیابید که به‌وسیله‌ی نقطه‌ی p از محیط آن رسم می‌شود.

حل: با فرض اینکه خط افقی محور xها زاویه‌ی دوران دایره باشد، با توجه به شکل داریم:

 

اما مساوی طول قوس است؛ چرا که دایره بدون لغزش می‌غلطد. بنابراین است.

لذا است و اما :

 

توجه کنید که این منحنی نمودار یک تابع متناوب با دوره‌ی تناوب مثل است. این منحنی که توسط p به‌وجود می‌آید، )) نام دارد و نشان دادیم که دارای این معادلات پارامتری است:

و

 

قضیه (1):منحنی و را که در آن fو g در بازه‌ی باز مشتق پذیرند را در نظر بگیرید. فرض می‌کنیم که در تغییر علامت نمی‌دهد یا صفر نمی‌شود. در این صورت منحنی و نمودار یک تابع مشتق‌پذیر مانند و است و

اگر توابع f و g، nبار مشتق پذیر باشند، نیز چنین است.

قضیه‌ی (2): فرض می‌کنیم که c یک منحنی با معادلات پارامتری و بوده و توابع و در موجود و پیوسته باشند، در این صورت با طول متناهی است و :

(1) dt

 

مثال(6) می‌خواهیم طول یعنی (محیط) دایره‌ی و را به‌دست آوریم.

حل:

تذکر: اگر c نمدار تابع باشد، می‌توان معادلات پارامتری و را برای آن در نظر گرفت. طبق فرمول (1) :

dt است و یا معادلاً (2) که رابطه‌ای بسیار مفیدی برای یافتن طول منحنی می‌باشد.

تست(1) طول منحنی c نیم دایره‌ای کدام است؟

1) 2) 3) 4)

حل: گزینه‌ی (1)؛

چون است، خواهیم داشت:

 

 

 

 

مثال(7) اگر c دارای نمودار قطبی باشد، فرم پارامتری آن عبارت است از : و

از این‌ها نتیجه می‌شود: =

 

 

در نتیجه

 

بنابراین: (3)

 

و یا: (4)

 

تست (2): طول منحنی دلگون c به معادله‌ی کدام است؟

1)8 2)10 3)16 4)20

حل: گزینه‌ی (3)؛

با توجه به تقارن نسبت به محور xها داریم:

 

 

 

 

 

1. طول قوس به عنوان پارامتر – انحناء

فرض کنیم که c منحنی به معادلات پارامتری و باشد که در آن‌ها و در موجود و پیوسته است. همچنین . لذا و هیچ‌گاه با هم در صفر نمی‌شوند؛ مانند شکل زیر.

مانند شکل فرض می‌کنیم طول قوس c از نقطه‌ی تا نقطه‌ی متغیر باشد. بالاخص و که L طول تمام منحنی c است.

لذا بنا بر قضیه‌ی(2) داریم:

حال طبق قضیه (1) نتیجه می‌شود که s تابعی مشتق پذیر از t بوده و

که را عنصر نامیده می‌شود و می‌دانیم غیر صفر (در واقع مثبت) است.

حال اگر بخواهیم طول قوس یک منحنی به معادله‌ی قطبی را بدست آوریم، با استفاده از رابطه‌ی (3) داریم:

 

و در نتیجه : و یا :

 

 

 

از روابط (5) و (6) نتیجه می‌شود که در . بنابراین تابع در صعودی است. بنابراین معکوس پذیر بوده و معکوس آن در که در آن L طول c است، موجود و پیوسته است.

حال با استفاده از تابع طول قوس ، کمیتی را تعریف می‌کنیم که میزان تغییر جهت منحنی c، به معادلات پارامتری و را توصیف می‌کند. علاوه بر رابطه‌ی (5)، فرض می‌کنیم منحنی c جز در نقاط ابتدا و انتها، خود را قطع نکند و مشتقات دوم ممکن است به ازای و بوده و موجود نباشد. این تنها به خاطر جهش تیز امکان پذیر است، به عنوان زاویه‌ای لزوماً در بازه‌ی ، امّا در این حالت را از طرف راست رابطه‌ی (8) بدست می‌اوریم.

حال حالت قطبی معادله‌ی c را در نظر می‌گیریم. اگر c دارای معادله‌ی قطبی باشد داریم:

لذا:

و

و

با جایگذاری در رابطه‌ی (8) و بازگشت به متغیر ،خواهیم داشت:

 

تست(3): انحنای دلگون در برابراست با:

1)صفر 2)1 3)بی نهایت 4)

حل: گزینه‌ی (3)؛